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双曲线

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

双曲线题先区分左右支、实轴方向与渐近线，再决定用焦点距离、割线参数还是切线方程。与椭圆相比，同一条过焦点的直线可能交同支、异支，甚至只有一个有限交点；这些位置会改变距离和差、根积符号和端点取舍。度量条件坐标化后，应把参数的真实范围与取等构型一起保留。

先修（培玉高中数学）：双曲线直线的方程平面向量基本定理及坐标表示导数在研究函数中的应用

知识要点

标准式、实轴与焦距

对 $x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ ，有 $a, b > 0$ 、 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，焦点为 $(\pm c, 0)$ ，离心率 $e = c / a > 1$ ，渐近线为 $y = \pm (b / a) x$ 。例如 $a = 2, b = 3$ 时， $c = 13$ 、 $e = 13 /2$ 。若正项换成 $y^{2} / b^{2}$ ，实半轴随之改为 $b$ ；焦距是 $2 c$ ，不能误当成 $c$ 。

斜轴曲线要用正交旋转

含 $x y$ 项的双曲线，不能把函数的极值点直接当作几何顶点。平移到中心后，把实对称二次型正交对角化，旋转保持长度和角度，再由正负特征值读半轴。例如 $x y = 1$ 令 $u = (x + y) / 2, v = (x - y) / 2$ ，化为 $u^{2} /2 - v^{2} /2 = 1$ ，顶点是 $(1, 1), (- 1, - 1)$ ，离心率为 $2$ 。

焦半径差与三角形约束

右支点 $P = (x, y)$ 满足 $P F_{1} = e x + a, P F_{2} = e x - a$ ，两焦半径之差为 $2 a$ ；左支则次序相反。例 $x^{2} - y^{2} /3 = 1$ 的点 $(2, 3)$ 到两焦点 $(- 2, 0), (2, 0)$ 的距离为 $5, 3$ ，与焦距 $4$ 构成直角三角形。夹角、内外接圆条件可配合余弦定理、海伦公式或面积除以半周长，但必须先核三角形非退化。

割线二次方程的次数与分支

直线代入曲线得到二次方程后，先查二次项是否消失，再查判别式和两根位置。对 $x^{2} - y^{2} = 1$ ，直线 $y = k x$ 仅在 $∣ k ∣ < 1$ 时有两交点，且分属两支； $∣ k ∣ = 1$ 时没有交点。竖直线 $x = 2$ 却有同在右支的两个交点 $(2, \pm 3)$ 。渐近平行方向不能机械当成普通二次割线，斜率参数也不能漏竖直线。

顶点割线的有理参数

过左顶点的直线斜率可用 $t = y / (x + a)$ 表示，右支对应 $∣ t ∣ < b / a$ ，并有 $x = a (b^{2} + a^{2} t^{2}) / (b^{2} - a^{2} t^{2})$ 、 $y = 2 a b^{2} t / (b^{2} - a^{2} t^{2})$ 。例如 $a = b = 1, t = 1/2$ 得点 $(5/3, 4/3)$ ，直接代入 $x^{2} - y^{2} = 1$ 成立。分母为零对应渐近方向；若换用另一顶点，参数范围及分母符号都要重新核对。

切线方程、法向量与垂足

在 $P = (x_{0}, y_{0})$ 处的切线为 $x x_{0} / a^{2} - y y_{0} / b^{2} = 1$ ，法向量是 $(x_{0} / a^{2}, - y_{0} / b^{2})$ 。例如 $x^{2} - y^{2} = 1$ 在 $(2, 1)$ 的切线是 $2 x - y = 1$ ；两焦点到它的距离分别为 $3$ 与 $1/ 3$ ，乘积为 $1$ 。切线交点可由线性方程求出，点到线的距离须除以法向量长度并保留绝对值。

焦点三角形的内心简化

右支点的焦点三角形内心可由对边长加权坐标求得 $I = (a, a y / (x + a))$ ，所以内心横坐标固定。例 $x^{2} - y^{2} /3 = 1$ 的点 $(2, 3)$ 给出 $I = (1, 1)$ ；镜像点 $(2, - 3)$ 给出 $(1, - 1)$ 。取 $t = y / (x + a)$ ，同一条右焦点弦上的两个右支交点还满足 $t_{1} t_{2} = - (e - 1)^{2}$ ；必须同时保留 $∣ t_{i} ∣ < b / a$ ，才能确定距离范围端点。

二次型的根积与度量区别

记 $Q (x, y) = x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2}$ ，沿单位方向 $u$ 写直线点为 $P + t u$ ，若有两个有限交点，则参数根积为 $(Q (P) - 1) / Q (u)$ 。它随方向变化，不像圆幂那样自动恒定。例如在 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上，从原点沿横轴的两段距离乘积为 $1$ ，沿单位方向 $(3 /2, 1/2)$ 则为 $2$ 。使用根积前要检查 $Q (u) \neq = 0$ 及真割线条件。

方法卡

轴向、离心率与渐近线

先从标准式的正项确定实轴，再计算半轴、焦距和渐近线。

完整讲解 · 例题 · 可练 17 题

一、是什么

先认识这些量

双曲线 $x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ ， $a, b > 0$ ，实轴沿横轴，半焦距 $c = a^{2} + b^{2}$ ，离心率 $e = c / a > 1$ 。渐近线为 $y = \pm (b / a) x$ 。

为什么这样做

把常数项忽略得到齐次二次式，其两条直线给渐近方向。正负项互换时实轴也互换。

先看一道例题

例 1：横轴双曲线

$x^{2} /9 - y^{2} /16 = 1$ 的焦点与渐近线是什么？

怎么看出来：

两半轴分别为三和四。

解：

$c = 5$ ，焦点 $(\pm 5, 0)$ ，渐近线 $y = \pm 4 x /3$ 。

答案：

$(\pm 5, 0)$ ； $y = \pm 4 x /3$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
求离心率、焦距、渐近线交点比例，或曲线含交叉项而实轴不沿坐标轴。	先从标准式的正项确定实轴，再计算半轴、焦距和渐近线。
$x^{2} /9 - y^{2} /16 = 1$ 的焦点与渐近线是什么？	两半轴分别为三和四。

三、怎么用

化标准式并辨认正项。
读出半轴长度而非平方。
求焦距、离心率和渐近线。
将焦点沿真实轴向写出。

四、再做一道

例 2：纵轴双曲线

$y^{2} /4 - x^{2} /5 = 1$ 的焦点与离心率是什么？

怎么看出来：

正项是纵坐标。

解：

$a = 2, b = 5, c = 3$ ，焦点 $(0, \pm 3)$ ，离心率 $3/2$ 。

答案：

$(0, \pm 3)$ ； $3/2$ 。

五、容易错在哪

双曲线焦距满足半轴平方相加，不能套用椭圆的相减关系。

真题

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焦半径与三角形几何

先确定所在支，再把两焦半径差与三角形几何联立。

完整讲解 · 例题 · 可练 28 题

一、是什么

先认识这些量

双曲线 $x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ 的两焦点为 $(\pm c, 0)$ ， $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。两焦距离之差的绝对值是 $2 a$ 。

为什么这样做

在右支，到左焦点的距离较大；若动点不在轴上，两焦点与动点组成非退化三角形，可以使用面积、余弦定理。

先看一道例题

例 1：非轴上点

$x^{2} - y^{2} = 1$ 上 $P = (2, 1)$ 到两焦点的距离分别是多少？

怎么看出来：

半焦距为根号二。

解：

右焦点 $(2, 0)$ 距离 $1$ ；左焦点 $(- 2, 0)$ 距离 $8 + 1 = 3$ ，差为 $2$ 。

答案：

到左焦点 $3$ ，到右焦点 $1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
条件同时涉及两焦点距离、夹角、等距中点、内外接圆或切线角倍数。	先确定所在支，再把两焦半径差与三角形几何联立。
$x^{2} - y^{2} = 1$ 上 $P = (2, 1)$ 到两焦点的距离分别是多少？	半焦距为根号二。

三、怎么用

标明左右支及焦点。
按点序去掉距离差绝对值。
联用距离平方或三角形条件。
核正距离及非退化要求。

四、再做一道

例 2：轴上顶点

同一双曲线右顶点到两焦点的距离是多少？可组成非退化三角形吗？

怎么看出来：

顶点横坐标为一。

解：

两距离为 $2 + 1, 2 - 1$ ，差为 $2$ 。三点共线，所以不能当作非退化焦点三角形。

答案：

$2 \pm 1$ ；不能。

五、容易错在哪

顶点处焦点三角形退化，内切圆和通常的三角形角公式须另查。

真题

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焦点弦的根和、根积与分支

双曲线割线也可用参数二次式，但先检查二次项是否消失。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

先认识这些量

交点参数为二次方程两根时，根和、根积由韦达给出。渐近方向可能使二次项消失，此时不能继续套二次根公式。

为什么这样做

判别式大于零只保证两个不同实参数；两点是否在同支还要检查坐标符号。

先看一道例题

例 1：竖直焦弦

直线 $x = 2$ 截 $x^{2} - y^{2} = 1$ ，求弦长。

怎么看出来：

直接用纵坐标作长度参数。

解：

$y^{2} = 1$ ，两交点 $(2, \pm 1)$ ，都在右支，弦长 $2$ 。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
直线穿过焦点，给出定比分点、交点斜率和、弦长或动点数量积。	双曲线割线也可用参数二次式，但先检查二次项是否消失。
直线 $x = 2$ 截 $x^{2} - y^{2} = 1$ ，求弦长。	直接用纵坐标作长度参数。

三、怎么用

参数化直线，单列竖直方向。
核二次系数和判别式。
用根和积或根差求目标。
检验分支和长度倍率。

四、再做一道

例 2：渐近方向

直线 $y = x + 1$ 与同一双曲线有几个有限交点？

怎么看出来：

二次项会相消。

解：

$x^{2} - (x + 1)^{2} = 1$ 化成 $- 2 x = 2$ ，得 $x = - 1, y = 0$ ，只有一个有限交点。

答案：

$1$ 个。

五、容易错在哪

双曲线与直线联立不一定仍是二次式，必须先检查首项。

真题

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有理割线参数与消元定点

从已知曲线点作割线，可约掉已知根，得到第二交点的有理参数式。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

先认识这些量

有理参数式指坐标都是参数的分式。直线过已知点时，代入曲线方程必有一个已知因子，约去后求第二点。

为什么这样做

分母为零可能表示次数下降；第二交点与已知点重合则是切线，均须单列。

先看一道例题

例 1：第二交点

过 $(1, 0)$ 的直线 $y = 2 (x - 1)$ 与 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的另一个交点是什么？

怎么看出来：

约去横坐标一对应的根。

解：

$x^{2} - 4 (x - 1)^{2} - 1 = - (x - 1) (3 x - 5)$ ，故第二点 $(5/3, 4/3)$ 。

答案：

$(5/3, 4/3)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
顶点引线的斜率有线性或倒数关系，或割线交点经过投影后要求连线过定点。	从已知曲线点作割线，可约掉已知根，得到第二交点的有理参数式。
过 $(1, 0)$ 的直线 $y = 2 (x - 1)$ 与 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的另一个交点是什么？	约去横坐标一对应的根。

三、怎么用

通过固定曲线点写直线。
代入并分解出已知根。
求第二交点坐标并列禁值。
回代所有特殊参数，避免误删合法方向。

四、再做一道

例 2：特殊斜率

改成 $y = x - 1$ 时，是否仍有另一个有限交点？

怎么看出来：

斜率一使二次项消失。

解：

$x^{2} - (x - 1)^{2} = 1$ 得 $2 x - 1 = 1$ ，仅有 $x = 1$ 。故没有另一个有限交点。

答案：

没有。

五、容易错在哪

分式参数失效时要回原方程，不应把无穷远形式当有限交点。

真题

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内心坐标与焦点弦真范围

焦点三角形的内心可用对边长度加权坐标求出，再用焦半径差简化。

完整讲解 · 例题 · 可练 6 题

一、是什么

先认识这些量

三角形顶点 $A, B, C$ 的内心为 $(a A + b B + c C) / (a + b + c)$ ，其中 $a, b, c$ 是各顶点的对边长。内切圆半径为面积除半周长。

为什么这样做

权重必须配对边。双曲线焦半径差固定，因此内心坐标常比原点坐标简单，但轴上退化点不能使用。

先看一道例题

例 1：求内心

$P = (2, 1)$ 在 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上，求它与两焦点所成三角形的内心。

怎么看出来：

三边为三、一、二根号二。

解：

左焦点权重为 $1$ ，右焦点为 $3$ ， $P$ 为 $22$ 。加权坐标化简得 $I = (1, 2 - 1)$ 。

答案：

$I = (1, 2 - 1)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
焦点三角形内心、内切圆半径、两个内心距离或角平分线截距随同一焦点弦变化。	焦点三角形的内心可用对边长度加权坐标求出，再用焦半径差简化。
$P = (2, 1)$ 在 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上，求它与两焦点所成三角形的内心。	三边为三、一、二根号二。

三、怎么用

选非轴上的双曲线点。
求两焦半径及焦点间距。
按对边权重求内心，或用面积求半径。
核三角形非退化及半径为正。

四、再做一道

例 2：求内切半径

求同一焦点三角形的内切圆半径。

怎么看出来：

焦点连线长与点到轴的高已知。

解：

面积为 $(22) \cdot 1/2 = 2$ ，半周长为 $2 + 2$ ，所以 $r = 2 / (2 + 2) = 2 - 1$ 。

答案：

$2 - 1$ 。

五、容易错在哪

加权坐标的系数是对边长，不是到该顶点的距离。

真题

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切线交点、极线与法向量

用双曲线切点式联立求切线交点，保留二次型中的负号。

完整讲解 · 例题 · 可练 4 题

一、是什么

先认识这些量

$x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的切线为 $x x_{0} / a^{2} - y y_{0} / b^{2} = 1$ 。切点须先在曲线上。

为什么这样做

两条切线交点由两个一次方程确定；反过来，给定交点后两个切点满足相同双线性关系。

先看一道例题

例 1：顶点切线

求 $x^{2} - y^{2} = 1$ 在 $(1, 0)$ 的切线。

怎么看出来：

纵坐标项为零。

解：

切点式给 $x = 1$ ，代回原曲线只有 $y = 0$ 。

答案：

$x = 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
两切线交于一点，或焦点向切线作垂线，目标是面积、垂足轨迹及距离乘积。	用双曲线切点式联立求切线交点，保留二次型中的负号。
求 $x^{2} - y^{2} = 1$ 在 $(1, 0)$ 的切线。	纵坐标项为零。

三、怎么用

核两切点合法。
分别写切点式。
联立线性方程求交点。
核两线不平行，代回两条切线。

四、再做一道

例 2：对称切线交点

求同一双曲线在 $(2, 1), (2, - 1)$ 两处切线的交点。

怎么看出来：

两式相加减最简单。

解：

切线为 $2 x - y = 1$ 与 $2 x + y = 1$ ，得 $y = 0, x = 1/ 2$ 。

答案：

$(1/ 2, 0)$ 。

五、容易错在哪

双曲线切点式有减号，写成加号会得到错误直线。

真题

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二次曲线上的向量关系和距离乘积：用 Q 和 B 降次

把曲线方程写成 $Q (X) = 1$ ，就能像完全平方那样展开 $Q (U + V)$ ，把向量关系变成一个数的等式。过定点的割线也是这样：两段距离的乘积由二次方程的两根之积直接给出，前提是这条线真的和曲线有两个交点。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

把方程写成 Q(X)=1

对 $Q (x, y) = α x^{2} + β y^{2}$ （ $α, β$ 是常数，可以为负），“点 $X$ 在曲线上”就是 $Q (X) = 1$ 。椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 取 $α = \frac{1}{4}, β = 1$ ；双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 取 $α = 1, β = - 1$ 。例如 $Q (2, 0) = \frac{4}{4} + 0 = 1$ ，所以 $(2, 0)$ 在这个椭圆上。

配对积 B：像完全平方一样展开

对 $U = (x_{1}, y_{1}), V = (x_{2}, y_{2})$ ，定义 $B (U, V) = α x_{1} x_{2} + β y_{1} y_{2}$ ，则 $B (U, U) = Q (U)$ 。向量按坐标运算： $U + V = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ ， $s U = (s x_{1}, s y_{1})$ 。完整展开一次： $Q (U + V) = α (x_{1} + x_{2})^{2} + β (y_{1} + y_{2})^{2} = (α x_{1}^{2} + β y_{1}^{2}) + 2 (α x_{1} x_{2} + β y_{1} y_{2}) + (α x_{2}^{2} + β y_{2}^{2})$ ，也就是 $Q (U + V) = Q (U) + 2 B (U, V) + Q (V)$ 。同样可得 $Q (s U) = s^{2} Q (U)$ ， $B (s U, t V) = s t B (U, V)$ 。这和 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ 是同一个结构。

向量关系如何降次

设 $A, B^{'}, C$ 都在曲线 $Q = 1$ 上，且 $OC = s O A + t O B^{'}$ 。展开得 $1 = s^{2} + t^{2} + 2 s t B (A, B^{'})$ 。当 $s t \neq = 0$ 时， $B (A, B^{'}) = \frac{1 - s ^{2} - t ^{2}}{2 s t}$ ，它是个定值。原本的二次条件变成了关于坐标的一个乘积式。这里把点 $(x, y)$ 和从原点到它的向量看成同一组坐标，所以 $C$ 的坐标是 $(s x_{1} + t x_{2}, s y_{1} + t y_{2})$ 。若条件写成 $x_{1} x_{2}, y_{1} y_{2}$ 的式子，常要转成斜率：过原点和 $(x, y)$ 的直线，在 $x \neq = 0$ 时写成 $y = k x$ ，斜率 $k = \frac{y}{x}$ ； $x = 0$ 时是竖直线，斜率不存在。

B 不是普通数量积

普通数量积在两个向量相同时满足 $U \cdot U = ∣ U ∣^{2}$ ， $B (U, U) = Q (U)$ 却不一定是长度平方。对 $Q = x^{2} - y^{2}$ ， $U = (1, 1)$ 时 $Q (U) = 0$ ，但它的长度是 $2$ 。所以 $Q$ 可以是 $0$ 或负数，不能把它当作长度的平方。题目问普通数量积或距离时，要回到普通坐标算。

过定点的割线：两根之积

设 $d = (p, q)$ ， $p^{2} + q^{2} = 1$ ，叫单位方向。设 $P = (x_{P}, y_{P})$ ，直线上的点写成 $X = P + t d = (x_{P} + tp, y_{P} + tq)$ 。由勾股定理， $X$ 到 $P$ 的距离是 $(tp)^{2} + (tq)^{2} = ∣ t ∣ p^{2} + q^{2} = ∣ t ∣$ 。用上面的展开， $Q (X) = Q (P) + 2 tB (P, d) + t^{2} Q (d)$ ，代入 $Q (X) = 1$ 得 $Q (d) t^{2} + 2 B (P, d) t + Q (P) - 1 = 0$ 。当 $Q (d) \neq = 0$ 且有两个不同实根时，由韦达定理得 $∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣ = ∣ t_{1} t_{2} ∣ = \frac{∣ Q ( P ) - 1∣}{∣ Q ( d ) ∣}$ ，其中 $M, N$ 是两个交点。斜率为 $k$ 的直线取 $d = \frac{( 1 , k )}{1 + k ^{2}}$ ；竖直线取 $d = (0, 1)$ 。

先看一道例题

例 1：向量关系求斜率之积

椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上有 $A, B^{'}, C$ 三点， $OC = \frac{3}{5} O A + \frac{4}{5} O B^{'}$ 。若 $A, B^{'}$ 的横坐标都不为 $0$ ，求直线 $O A, O B^{'}$ 的斜率之积。

怎么看出来：

三点都在曲线上，又有向量线性关系，展开 $Q (OC) = 1$ 。

解：

$Q (C) = \frac{9}{25} Q (A) + \frac{16}{25} Q (B^{'}) + 2 \cdot \frac{12}{25} B (A, B^{'})$ ，即 $1 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} + \frac{24}{25} B (A, B^{'})$ ，所以 $B (A, B^{'}) = 0$ 。设 $A (x_{1}, y_{1}), B^{'} (x_{2}, y_{2})$ ，则 $\frac{x _{1} x _{2}}{4} + y_{1} y_{2} = 0$ 。因为 $x_{1} x_{2} \neq = 0$ ，两边除以 $x_{1} x_{2}$ ，得 $\frac{1}{4} + \frac{y _{1} y _{2}}{x _{1} x _{2}} = 0$ ，而 $\frac{y _{1}}{x _{1}}, \frac{y _{2}}{x _{2}}$ 正是两条直线的斜率，所以 $\frac{y _{1} y _{2}}{x _{1} x _{2}}$ 就是它们的积，等于 $- \frac{1}{4}$ 。检查： $A (2, \frac{2}{2}), B^{'} (- 2, \frac{2}{2})$ 都在椭圆上，斜率是 $\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$ ，积为 $- \frac{1}{4}$ 。

答案：

$- \frac{1}{4}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
曲线上几个点满足向量线性关系，如 $OC = s O A + t OB$	写 $Q$ 和 $B$ ，展开 $Q (OC) = 1$
过定点的直线与曲线相交，问两段距离的乘积	用单位方向写参数，取两根之积
过定点的直线，方向变化，问乘积的范围	写成 $\frac{∣ Q ( P ) - 1∣}{∣ Q ( d ) ∣}$ ，再看 $Q (d)$ 的范围
双曲线上的割线	先写出有两个交点的条件（见进阶“双曲线割线”）
给出弦的中点，或问弦的斜率	两端点相减，得 $B (C, w) = 0$ （见进阶“中点弦”）
对称的两个点，如焦点，出现数量积	化成 $x^{2} + y^{2} - c^{2}$ （见进阶“对称点数量积”）
到两条渐近线的距离，或点在渐近线上	把 $Q$ 分解成两个一次因子（见进阶“渐近线”）

三、怎么用

写出 $Q$ 和 $B$ 。例如椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ： $Q = \frac{x ^{2}}{4} + y^{2}$ ， $B (U, V) = \frac{x _{1} x _{2}}{4} + y_{1} y_{2}$ 。
把条件翻译成 $Q$ 的等式。若 $A, B^{'}, A + B^{'}$ 都在椭圆上： $Q (A) = Q (B^{'}) = 1$ ， $Q (A + B^{'}) = 1$ 。
展开并解出 $B$ 。 $1 = 1 + 2 B (A, B^{'}) + 1$ ，所以 $B (A, B^{'}) = - \frac{1}{2}$ ，即 $\frac{x _{1} x _{2}}{4} + y_{1} y_{2} = - \frac{1}{2}$ 。
回到题目问的量。这里可以再用 $Q (A - B^{'}) = 1 - 2 B (A, B^{'}) + 1 = 3$ ，得到 $\frac{( x _{1} - x _{2} ) ^{2}}{4} + (y_{1} - y_{2})^{2} = 3$ 。
找一组实际的点检查。 $A (2, 0), B^{'} (- 1, \frac{3}{2})$ 都在椭圆上， $A + B^{'} = (1, \frac{3}{2})$ 也在椭圆上， $B (A, B^{'}) = - \frac{2}{4} + 0 = - \frac{1}{2}$ ， $Q (A - B^{'}) = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3$ ，都对。

四、再做一道

例 2：过椭圆内一点的距离乘积

椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $P (1, 0)$ 。过 $P$ 的直线交椭圆于 $M, N$ ，求 $∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣$ 的范围。

怎么看出来：

$P$ 在椭圆内，任何方向都有两个交点。距离乘积直接用两根之积。

解：

$Q (P) = \frac{1}{4}$ ，所以 $Q (P) - 1 = - \frac{3}{4} < 0$ 。设单位方向 $d = (p, q)$ ， $p^{2} + q^{2} = 1$ ， $Q (d) = \frac{p ^{2}}{4} + q^{2} = 1 - \frac{3}{4} p^{2}$ 。方程 $Q (d) t^{2} + 2 B (P, d) t - \frac{3}{4} = 0$ 的首项系数为正、常数项为负，所以有两个不同实根。 $∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣ = \frac{3/4}{1 - \frac{3}{4} p ^{2}}$ 。 $p^{2}$ 取遍 $[0, 1]$ ，分母取遍 $[\frac{1}{4}, 1]$ ，所以乘积取遍 $[\frac{3}{4}, 3]$ 。检查：竖直线 $x = 1$ 上 $y = \pm \frac{3}{2}$ ，乘积是 $\frac{3}{4}$ ； $x$ 轴上交点是 $(\pm 2, 0)$ ，乘积是 $1 \cdot 3 = 3$ 。

答案：

$[\frac{3}{4}, 3]$ 。

五、容易错在哪

$Q (X)$ 不是长度的平方。双曲线的 $Q$ 可以是 $0$ 或负数，算距离或普通数量积要回到普通坐标。
距离乘积公式是对单位方向写的。一般方向 $v$ 下， $∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣ = ∣ v ∣^{2} ∣ t_{1} t_{2} ∣$ ，不能直接套用单位方向的公式。
距离乘积一般随方向变化，不要直接当作定值。 $Q (P) = 1$ （ $P$ 在曲线上）时根积恒为 $0$ ； $Q (P) \neq = 1$ 时它由 $∣ Q (d) ∣$ 决定。这些都要先满足有两个不同交点。
公式能算出数，不代表这个方向真的有两个交点。双曲线要先检查首项系数不为 $0$ 和判别式大于 $0$ 。
用 $y = k x + m$ 时，竖直线没有被包括，要另外看。

进阶：双曲线割线

这个方向真的有两个交点吗

公式有前提：方程有两个不同实根。椭圆上 $Q (d)$ 总是正的； $P$ 在椭圆内时 $Q (P) - 1 < 0$ ，判别式大于 $0$ ，一定有两个交点。双曲线上 $Q (d)$ 可以为 $0$ （渐近线方向，至多 $1$ 个交点），也可以使判别式小于 $0$ （没有交点）或等于 $0$ （相切，只有 $1$ 个交点）。这些方向即使代入公式能算出数，也不能算。

一个根已知时

若直线经过曲线上一点 $A$ ，写 $X = P + t (A - P)$ ，则 $t = 1$ 是一个根。这时方向 $A - P$ 不必是单位向量，当 $Q (A - P) \neq = 0$ 时，由两根之积得另一个根 $t^{'} = \frac{Q ( P ) - 1}{Q ( A - P )}$ ，当 $t^{'} \neq = 1$ 时，它就给出第二个交点； $t^{'} = 1$ 时直线在 $A$ 处相切，没有第二个交点。比较两条过 $P$ 的割线时，这样写最快。

过同一点的两条割线与共圆

两条不同的割线都过 $P$ ，四个交点各不相同，若 $∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣ = ∣ PR ∣ \cdot ∣ PS ∣$ ，且 $P$ 同在两条弦的内部或同在两条弦的外部，则 $M, N, R, S$ 四点共圆（相交弦定理和割线定理的逆定理）。

例 3：双曲线：先定方向

双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ ， $P (0, 1)$ 。过 $P$ 且与双曲线有两个交点 $M, N$ 的直线，求 $∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣$ 的范围。

怎么看出来：

双曲线不是每个方向都有两个交点。公式对竖直方向也能算出 $2$ ，但竖直线根本不相交，要先定方向。

解：

竖直线 $x = 0$ 代入得 $y^{2} = - 1$ ，没有交点。设 $y = k x + 1$ ，代入得 $(1 - k^{2}) x^{2} - 2 k x - 2 = 0$ 。要两个不同实根，需 $k^{2} \neq = 1$ ，且判别式 $4 k^{2} + 8 (1 - k^{2}) = 8 - 4 k^{2} > 0$ ，所以 $k^{2} < 2$ 且 $k^{2} \neq = 1$ 。 $Q (P) - 1 = - 2$ ，单位方向 $d = \frac{( 1 , k )}{1 + k ^{2}}$ ， $Q (d) = \frac{1 - k ^{2}}{1 + k ^{2}}$ ，所以乘积 $= \frac{2 ( 1 + k ^{2} )}{∣1 - k ^{2} ∣}$ 。 $0 \leq k^{2} < 1$ 时， $k^{2}$ 越大值越大， $k = 0$ 时为 $2$ ， $k^{2}$ 接近 $1$ 时趋于无穷，取遍 $[2, + \infty)$ 。 $1 < k^{2} < 2$ 时，值大于 $6$ ，已包含在内。检查： $k = 0$ 时交点是 $(\pm 2, 1)$ ，乘积是 $2 \cdot 2 = 2$ 。

答案：

$[2, + \infty)$ 。

进阶：中点弦

弦的中点：两端点相减

设弦的两端是 $C + w$ 和 $C - w$ ， $C$ 是中点。两点都在 $Q = 1$ 上，相减得 $Q (C + w) - Q (C - w) = 4 B (C, w) = 0$ ，所以 $B (C, w) = 0$ 。这条等式把中点和弦的方向联系起来。

例 4：由中点求弦所在直线

椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的一条弦的中点是 $(1, \frac{1}{2})$ ，求这条弦所在的直线方程。

怎么看出来：

已知中点，由 $B (C, w) = 0$ 能直接得到方向。

解：

设弦的半向量是 $w = (s, t)$ ， $w \neq = 0$ 。由 $B (C, w) = \frac{1 \cdot s}{4} + \frac{1}{2} t = 0$ ，得 $s = - 2 t$ ， $t \neq = 0$ ，斜率是 $\frac{t}{s} = - \frac{1}{2}$ 。直线方程是 $y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} (x - 1)$ ，即 $x + 2 y = 2$ 。检查：代入椭圆， $x = 2 - 2 y$ ， $(1 - y)^{2} + y^{2} = 1$ ，得 $y = 0$ 或 $y = 1$ ，交点是 $(2, 0), (0, 1)$ ，中点正好是 $(1, \frac{1}{2})$ 。

答案：

$x + 2 y = 2$ 。

进阶：对称点数量积

对称两点的普通数量积

这部分用的是普通数量积。 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ， $P (x, y)$ ： $P F_{1} \cdot P F_{2} = (- c - x) (c - x) + y^{2} = x^{2} + y^{2} - c^{2}$ 。再由曲线方程消去一个变量。还有 $(OP + OF) \cdot (OP - OF) = ∣ OP ∣^{2} - ∣ OF ∣^{2}$ 。椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦点满足 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ，点到两焦点的距离和是 $2 a$ ；双曲线 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 的焦点满足 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，点到两焦点的距离差的绝对值是 $2 a$ 。

例 5：对称两点的数量积范围

$P$ 在椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上， $F_{1} (- 3, 0), F_{2} (3, 0)$ 。求 $P F_{1} \cdot P F_{2}$ 的范围。

怎么看出来：

对称的两个点，数量积直接化成 $x^{2} + y^{2} - c^{2}$ ，再用椭圆方程消去 $x^{2}$ 。

解：

数量积 $= x^{2} + y^{2} - 3$ 。由椭圆方程， $x^{2} = 4 - 4 y^{2}$ ，所以数量积 $= 1 - 3 y^{2}$ 。椭圆上 $y^{2}$ 取遍 $[0, 1]$ ，所以范围是 $[- 2, 1]$ 。检查： $P (2, 0)$ 时 $(- 3 - 2) (3 - 2) = 4 - 3 = 1$ ； $P (0, 1)$ 时 $- 3 + 1 = - 2$ 。

答案：

$[- 2, 1]$ 。

进阶：渐近线

渐近线上的坐标

$Q = x^{2} - \frac{y ^{2}}{k ^{2}}$ （ $k > 0$ ）可以分解为 $(x - \frac{y}{k}) (x + \frac{y}{k})$ ，这两个因子对应两条渐近线 $y = \pm k x$ 。点 $(x_{0}, y_{0})$ 到直线 $a x + b y + c = 0$ （ $a, b$ 不全为 $0$ ）的距离是 $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ ，所以双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上的点到两条渐近线 $x \pm y = 0$ 的距离之积是 $\frac{∣ x ^{2} - y ^{2} ∣}{2} = \frac{1}{2}$ ，是定值。求距离之和时，用 $∣ m + n ∣ + ∣ m - n ∣ = 2 max (∣ m ∣, ∣ n ∣)$ ，其中 $max$ 表示两者中较大的那个。

进阶：接韦达定理

和韦达定理接起来

$B (A, B^{'})$ 的值确定以后，把直线 $y = k x + m$ 代入曲线，用两根之和与积算出 $x_{1} x_{2}$ 和 $y_{1} y_{2}$ ，就能得到 $k, m$ 的关系。斜率不存在的竖直线要另外算。

例 6：结合直线方程

直线 $y = k x + m$ 交椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 于 $A (x_{1}, y_{1}), B^{'} (x_{2}, y_{2})$ ，且 $\frac{x _{1} x _{2}}{4} + y_{1} y_{2} = 0$ 。求原点到这条直线的距离的范围。

怎么看出来：

条件正是 $B (A, B^{'}) = 0$ 。用韦达定理得到 $k, m$ 的关系，再写距离。

解：

代入得 $(1 + 4 k^{2}) x^{2} + 8 km x + 4 m^{2} - 4 = 0$ 。 $x_{1} x_{2} = \frac{4 m ^{2} - 4}{1 + 4 k ^{2}}$ ， $x_{1} + x_{2} = \frac{- 8 km}{1 + 4 k ^{2}}$ 。由 $y_{1} y_{2} = k^{2} x_{1} x_{2} + km (x_{1} + x_{2}) + m^{2}$ 得 $y_{1} y_{2} = \frac{m ^{2} - 4 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}}$ 。代入条件： $\frac{m ^{2} - 1 + m ^{2} - 4 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}} = 0$ ，所以 $2 m^{2} = 1 + 4 k^{2}$ 。判别式是 $16 (4 k^{2} + 1 - m^{2}) = 16 m^{2} > 0$ ，因为 $m^{2} \geq \frac{1}{2}$ ，所以确实有两个交点。距离的平方 $d^{2} = \frac{m ^{2}}{1 + k ^{2}}$ ，由 $k^{2} = \frac{2 m ^{2} - 1}{4}$ 得 $d^{2} = \frac{4 m ^{2}}{3 + 2 m ^{2}}$ 。它等于 $2 - \frac{6}{3 + 2 m ^{2}}$ ，所以随 $m^{2}$ 增大而增大， $m^{2} = \frac{1}{2}$ 时为 $\frac{1}{2}$ ， $m^{2}$ 很大时趋于 $2$ 但取不到。所以 $d \in [\frac{2}{2}, 2)$ 。 $d = 2$ 只在竖直线 $x = \pm 2$ 时出现，它不能写成 $y = k x + m$ 。

答案：

$[\frac{2}{2}, 2)$ 。

真题

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度量坐标化与可达最值

利用曲线方程消元后，在真正分支范围内研究距离或面积。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

先认识这些量

右支 $x^{2} - y^{2} = 1$ 满足 $x \geq 1$ ，且 $y^{2} = x^{2} - 1$ 。长度平方非负，先求平方范围可避免根式。

为什么这样做

两个坐标不是独立的，消去一个后保留 $x \geq 1$ ，才能正确区分可达顶点和无穷远极限。

先看一道例题

例 1：原点距离

右支上点到原点距离的范围？

怎么看出来：

距离平方为两坐标平方之和。

解：

$O P^{2} = x^{2} + y^{2} = 2 x^{2} - 1 \geq 1$ ， $x = 1$ 取等， $x$ 可任意大，且连续，距离范围 $[1, \infty)$ 。

答案：

$[1, \infty)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
面积、距离比、两渐近线距离和或参数尺度约束要求最值及取值范围。	利用曲线方程消元后，在真正分支范围内研究距离或面积。
右支上点到原点距离的范围？	距离平方为两坐标平方之和。

三、怎么用

写分支和参数范围。
用曲线方程消去平方量。
求单变量全局界。
回原构型核取等与无界方向。

四、再做一道

例 2：到右焦点

同一右支上点到 $F = (2, 0)$ 的最近距离是多少？

怎么看出来：

消元后恰成完全平方。

解：

$P F^{2} = (x - 2)^{2} + x^{2} - 1 = (2 x - 1)^{2}$ 。因 $x \geq 1$ ，故 $PF = 2 x - 1 \geq 2 - 1$ ，顶点取等。

答案：

$2 - 1$ 。

五、容易错在哪

开分支或删去顶点时，同一个代数下界可能不再是最小值。

真题

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误区对照

容易误以为

双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 上一点 $P$ 满足 $∣ P F_{1} ∣ = 7$ ，由 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 6$ 得 $∣ P F_{2} ∣ = 1$ 或 $13$ 。

应当这样想

$a = 3, c = 5$ ，双曲线上点到焦点的距离至少为 $c - a = 2$ ，所以 $∣ P F_{2} ∣ = 1$ 舍去，只有 $∣ P F_{2} ∣ = 13$ 。此时 $∣ P F_{1} ∣ = 7 < a + c = 8$ ， $P$ 在左支上，离 $F_{1}$ 较近。

为什么

焦半径的最小值是 $c - a$ （在顶点取到）；由定义解出的两个值都要用这个范围检查。

容易误以为

双曲线的渐近线为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，所以 $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$ ，离心率 $e = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$ 。

应当这样想

渐近线方程不能确定实轴方向。焦点在 $x$ 轴上时 $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$ ， $e = \frac{5}{2}$ ；焦点在 $y$ 轴上时 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{b}{a} = 2$ ， $e = 5$ 。

为什么

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 与 $\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 的渐近线斜率分别是 $\pm \frac{b}{a}$ 与 $\pm \frac{a}{b}$ ；没有给出焦点位置就要分两支。

容易误以为

直线 $y = \frac{4}{3} x + 1$ 与双曲线 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 只有一个公共点，所以它是双曲线的切线。

应当这样想

代入后二次项系数 $\frac{1}{9} - \frac{16}{9 \cdot 16} = 0$ ，方程降为一次： $- \frac{x}{6} - \frac{1}{16} = 1$ ， $x = - \frac{51}{8}$ 。直线平行于渐近线 $y = \frac{4}{3} x$ ，与双曲线交于一点但穿过曲线，不是切线。

为什么

对双曲线，“只有一个公共点”有两种情形：相切（判别式为零），或直线平行于渐近线（二次项消失）。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 80 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。