同一骨架 2012 年河南预赛 第 9 题 · P010595
已知新顶点到若干底面点的距离时，先作距离平方差消掉共同的高度平方，解出水平投影，再用一条距离恢复真实高度。
前题的距离来自折叠后端点合并，先核哪些点真正重合；后题由三条侧棱定位顶点，并继续按指定半平面计算二面角，镜像不改变所求。
培玉 · 一试
2021 年江西预赛
F3填空题截面与折叠
边长为 的正方形 中， 是 的中点。 现将 沿 折起，使 重合， 组成一个四面体。则此四面体的体积是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
折叠保持各三角形边长。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
把重合后的 记为同一顶点， 以中间三角形 为底，利用新顶点到 的距离求高。
解答
折叠后 重合为一点，记为 。四面体为 ，且
在底面内取坐标
则 的面积为
由于 ，点 在底面上的正投影位于 的垂直平分线上。 设投影为 ，四面体的高为 。由 、，
两式相减得 ，进而 。故体积为
复核
底面边长满足 ，与原正方形一致； 所得 ，说明折叠后确为非退化四面体，三个侧棱长度也同时满足。
方法总结
折叠题中长度保持不变。先把重合边的端点合并为新顶点， 再从已知侧棱长度确定其在底面的投影和空间高度。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
确定A、B合并后各侧棱长，再由到C、D等距定位投影，用两距离平方相减求投影和真实高度。
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