2016 年湖北预赛 · 第 11 题

解答

对数底数满足 $a>0,a\ne 1$，且 $A=(0,1)$。设 $h(x)=\ln x/x^2$，其导数为 $(1-2\ln x)/x^3$。若 $0<a<1$，原不等式等价于 $h(x)<\ln a$。在 $(0,1)$ 上 $h$ 严格递增，值域为 $(-\infty ,0)$，故 $B=(0,c)$，其中唯一 $c\in (0,1)$ 满足 $h(c)=\ln a$；这是 $A$ 的真子集。若 $a>1$，原不等式要求 $h(x)>\ln a>0$，所以所有可能的元素均大于一。于是只有 $B=\varnothing$ 才能符合。$h$ 在 $x>1$ 的最大值为 $1/(2e)$，于 $x=\sqrt{e}$ 取得。因此所求为 $\boxed{(0,1)\cup [e^{1/(2e)},+\infty )}$。