2017 年安徽预赛 · 第 10 题

解答

在原区间上，$x-\sin x>0$，因为其在零为零、导数 $1-\cos x>0$；而 $\tan x-\sin x>0$，因为 $0<\cos x<1$。上界等价于 $H(x)=\tan x+2\sin x-3x>0$。令 $c=\cos x\in (0,1)$，有 $H^{\prime }(x)=1/c^2+2c-3=(1-c{)}^2(2c+1)/c^2>0$，且 $H(0)=0$，故结论成立，即 $\boxed{0<(x-\sin x)/(\tan x-\sin x)<1/3}$。