2026 年四川预赛

解答

把 $45$ 个位置从 $1$ 到 $45$ 编号，在第 $i$ 与第 $j$ 个数码后放逗号，其中

全部分割共有

种。

记 $E_{12}$ 表示 $L_1,L_2$ 没有共同数码，类似定义 $E_{23},E_{31}$。

先求 $|E_{12}|$。段 $L_1$ 一定含数码 $1$，故 $L_2$ 不能跨过任何后续的 $1$。 当进入区块 $12\cdots r$ 时，前缀已含 $1,2,\dots ,r-1$，所以该区块中唯一可能与 前缀无共同数码的非空中段只能是首次出现的末位数码 $r$ 本身。为使 $L_3$ 非空， $r$ 可取 $2,3,\dots ,8$，故

再求 $|E_{23}|$。若 $j\le 36$，则 $L_3$ 含完整的末区块 $123456789$，不可能与 非空的 $L_2$ 无共同数码。令

此时 $L_3$ 的数码集合为 $\{d+1,d+2,\dots ,9\}$。当 $1\le d\le 7$ 时， $L_3$ 含数码 $8$，而数码 $8$ 在末区块之前最后出现于位置 $36$，故必须且只需 $i\ge 36$，共有 $d$ 种。$d=8$ 时，$L_3$ 只有数码 $9$，它此前未出现，因而 $i=1,2,\dots ,43$ 均可。于是

最后求 $|E_{31}|$。由于 $L_1$ 含数码 $1$，仍须有 $j\ge 37$。沿用 $j=36+d$。当 $1\le d\le 7$ 时，$L_3$ 中最早出现过的数码是 $d+1$，它第一次 出现于位置

所以 $i$ 可取 $1,2,\dots ,T_{d+1}-1$。当 $d=8$ 时，受 $i<j=44$ 限制， 共有 $43$ 种。因此

事件 $E_{12}$ 中的 $L_2$ 是某个数码 $r\in \{2,\dots ,8\}$，它在后续区块中还会 出现；同时 $L_1,L_3$ 都含 $1$，故 $E_{12}$ 与另外两个坏事件均无交集。 当 $1\le d\le 7$ 时，$E_{23}$ 要求 $i\ge 36$，而 $E_{31}$ 要求 $i\le 35$， 不能同时发生；当 $d=8$ 即 $j=44$ 时，末段只有此前未出现的数码 $9$， $i=1,\dots ,43$ 全部同时属于 $E_{23}\cap E_{31}$。所以

由容斥原理，至少有一对段落没有共同数码的分割数为

故符合题意的分割方式总数为