培玉 · 一试
2025 年吉林预赛
最大角条件下椭圆动点的距离最值
已知 为 的三个内角，向量
如果当 最大时，存在动点 ，使得 成等差数列， 则
的最大值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
距离按给定顺序成等差，意味着首末两项之和等于中项的两倍。椭圆由到两焦点距离和固定定义；将所有长度按固定边长缩放，不改变题中距离比。
想法从哪来：题目先要求在角最大时再研究动点，两个阶段不能混在一起。角条件含半和与半差，先用三角形角和把半和换成第三角的半角，再用余弦平方至多一确定第三角上界。等号迫使另外两角相等，三角形形状随之固定。 接着仔细读三段距离成等差数列的顺序：固定边长是中项，所以两动距离之和固定，轨迹是以这条边两端为焦点的椭圆。按边长归一化以后，顶点位置和椭圆半轴都能明确写出。距离平方沿椭圆消去横坐标，得到纵坐标的凹二次式；它的顶点未必落在允许区间，因此最后要比较受限端点，而不能直接套二次函数的顶点值。
先用向量模条件求角 的上界及等号形状；最大角对应一个确定形状的等腰三角形。 等差条件把点 的轨迹化为以 为焦点的椭圆，最后求椭圆上到顶点 的 最远距离。
解答
令
由于 ，模长条件给出
由 ，得到
等号在 ，即 时成立。因此 最大时，三角形为等腰三角形，且
不妨令 ，取
等差条件以 为中项，故
于是 的轨迹是椭圆
记 。由椭圆方程，
该关于 的凹二次式的顶点为 ，它位于允许区间的左侧， 故最大值在 处取得。此时 ，从而
复核
取 时 ，确实成等差数列；同时它是椭圆下端点， 上述最大值可实际取得。
方法总结
角条件先用半和、半差变量处理；三段距离按给定顺序成等差数列时，应准确写成 “两焦距之和等于常数”，从而识别椭圆。固定三角形形状后再用坐标求距离最值。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需先由角的最大化及等号确定三角形形状，再把距离等差条件识别为椭圆，最后比较点到椭圆距离的二次式顶点与允许区间，三个判断依次决定后一步模型。
已记下，谢谢！