培玉 · 一试
2026 年山东预赛
分段定义偶函数的集合元素数
设非空集合 满足 ，。当 时， ；当 时，。若函数 为偶函数， 则集合 的元素个数的最大可能值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
严格凸函数的导数严格递增；若在零处为负、先降后升且趋于正无穷，它在正半轴恰有一个零点。偶函数要求每个 与 的函数值相等，不要求两者属于同一分支。
想法从哪来：一个分支本来就是偶函数，问题只发生在某个相反数对被放入线性分支的时候。因此以每一对正负自变量为单位讨论，比研究任意集合整体更有效。非零的一对若都在线性分支，左右值立即不同；若只放一侧，则偶性会迫使指数分支与对应直线在正半轴相交。 于是特殊集合的非零元素个数，化为两条交点方程的正根数。其中一条可用严格凸性和起点、无穷远行为判断唯一正根，另一条直接严格递增。零点自己与自己对称，可以独立放入特殊集合。最后将两个允许的非零点与零一起选入，再逐对核验补集仍能保持偶性，才证明上界可达。
函数 本身是偶函数。把每一对 分开考察：若其中有一点放入 ，偶性会迫使该点满足 或 。两方程在正半轴上各只有一个解。
解答
记
固定 。若 都属于 ，则偶性要求 ，矛盾。因此一对非零相反数中至多有一个属于 。
若 ，则
若 ，则
令
在 上，，且 、 。又 严格递增，所以 先减后增，方程 (1) 恰有一个正根，记为 。
再令
对 ，
而 、，故方程 (2) 也恰有一个正根，记为 。 并且 ，否则两方程相减会得到 。
所以非零元素中， 至多含有 与 两个数；此外 可以属于 ，故 。取
由 (1)、(2) 可逐对验证所得 为偶函数，且 非空。因此最大值为
复核
时只需比较 与自身，不产生额外限制。构造中除 外的每对相反数都落在 ，由 的偶性自动满足条件； 排除了定义冲突。
方法总结
分段定义的偶函数问题，宜以相反数对为基本单位。先列出同属或分属两个集合的全部情形， 再把允许进入特殊分支的点化为方程的根；最后必须给出达到上界的集合构造。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
每对相反数至多一者走线性分支，允许点必须来自两条不同交点方程；需分别证明恰有一正根并组装全局偶函数取到上界。
已记下，谢谢！