2024 年中科大少年班入围考 · 第 2 题

解答

实数立方根函数严格递增，故

由 $3^{-a}<1/2$，等价地 $3^a>2$，得

在 $S_3$ 中，对数定义要求 $a>0,a\ne 1$。当 $a>1$ 时，${\log }_a(2/3)<0<1$ 恒成立；当 $0<a<1$ 时，对数函数递减，所以

因此 $S_3=(0,2/3)\cup (1,+\infty )$。又

其中中间的不等式由 $2^3=8<9=3^2$ 得到。于是 $S_1\cap S_2=({\log }_{3}2,8)$，它与 $S_3$ 的两段相连，覆盖所有正数，而没有非正数。所求为