2010 年湖南预赛 · 第 15 题

解答

原不等式等价于 $a(x-\ln x)\ge x^2/2-x$。在 $[1,e]$ 上 $x-\ln x>0$，故须 $a\ge h(x)=(x^2/2-x)/(x-\ln x)$ 恒成立。求导得 $h\prime (x)=(x-1)(x/2+1-\ln x)/(x-\ln x{)}^2\ge 0$，其中 $\ln x\le 1$ 保证第二因子为正。因此 $\max h=h(e)=e(e-2)/(2(e-1))$，参数范围为 $\boxed{[e(e-2)/(2(e-1)),+\infty )}$。