2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 3 题

解答

由 $9\in A$ 及二次式关于 $x=5$ 对称，有 $1\in A$。 若 $b=0$，则 $B=\mathbb{R}$，从而 $1\in A\cap B$，矛盾。 若 $b>0$，则 $B=(-\infty ,b^2]$；由 $9\in B$ 得 $1\in B$，仍矛盾。 故 $b<0$，$B=[b^2,+\infty )$。

设 $A=[u,v]$，则 $u+v=10$，且 $u\le 1$。与右半轴相交不会截去 $A$ 的右端，故 $v=9$，$u=1$。 于是 $x^2-10x+a=(x-1)(x-9)$，$a=9$。 交集左端为 $4>u$，所以 $b^2=4$，结合 $b<0$ 得 $b=-2$。 因此 $a+b=\boxed{7}$。