2014 年湖南预赛 · 第 15 题

解答

反设存在。将两个极值点排序为 $x_1<x_2$。因 $f\prime (x)=3x^2+2ax+b$，其两个互异零点正是 $x_1,x_2$，所以 $f\prime (x)=3(x-x_1)(x-x_2)<0$ 对 $x\in (x_1,x_2)$ 成立。于是 $f(x_1)>f(x_2)$。若两者都是不动点，则该不等式变为 $x_1>x_2$，与排序矛盾。因此$\boxed{\text{不存在}}$这样的实数组 $(a,b)$。