2008 年河南预赛 · 第 6 题

解答

由定义，$g$ 为偶、$h$ 为奇，且二者均以 $2\pi$ 为周期。因此 $g(x-\pi )=g(x+\pi )$、$h(x-\pi )=h(x+\pi )$。对 $p$ 的常规定义点，平移 $\pi$ 时分子变号、余弦分母也变号，所以 $p(x+\pi )=p(x)$；反射时 $g(-x)-g(-x+\pi )=g(x)-g(x+\pi )$，分母为偶，故 $p(-x)=p(x)$。 对于 $q$，平移 $\pi$ 时分子不变，$\sin 2x$ 也不变，故 $q(x+\pi )=q(x)$；反射时分子变为 $-[h(x)+h(x+\pi )]$，正弦分母同时变号，故 $q(-x)=q(x)$。两种例外点集合分别在反射与平移 $\pi$ 下保持，且补值均为0，因此上述性质在这些点也成立。结论为两者都是偶函数，且 $\pi$ 均为周期，选 $\boxed{\mathrm{B}}$。