培玉 · 一试
2011 年湖南预赛 · 第 5 题
F1填空题复数的概念与运算
已知复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为 ，则 为实数的条件是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先解第一个线性复数方程，再把未知复数按给定虚部写成一个实参数，令乘积的虚部为零。
解答
因 ，有
由 的虚部为 ，可设 ，其中 。于是
乘积为实数当且仅当 。因此
复核
将 代回，；同时 为实数，且 虚部确为 。
方法总结
给定复数的虚部后，用实参数表示实部；实数乘积条件对应乘积虚部为零，解出后回验全部原条件。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
先解一个复数线性方程，再利用已知虚部用单个实参数表示另一复数；乘积为实数只需令其虚部系数为零，并回验两个原条件。
已记下，谢谢！