易混 2026 年云南预赛 · P006108
函数值都要求严格为正或严格大于另一函数，并不意味着参数边界一律排除。若最不利输入在闭区间内真正取得，临界参数会产生等号或无定义；若临界只由开端点的极限给出，参数取边界仍可能对每个实际输入保持严格。
闭区间二次真数需要核端点和顶点；开区间比较先求单调比值的下确界，再单独回代临界参数验证全称严格性。
培玉 · 一试
2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）
F3填空题幂指对
若不等式
对任意 均成立，则实数 的取值范围是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
区间内 而 ，先判断对数底数必须小于 。
思路
随后把条件化为关于 的上界，并求函数 在开区间上的下确界。
解答
因 且 ，必有 。令 ，则原不等式等价于
又
故 严格递减，且
由于右端点不在区间中， 时仍对每个允许的 有严格不等式。因此
即
复核
时，任意 都有 ，所以严格号不丢失； 不合法，而 时左侧不能对所有 为正。
方法总结
对数恒成立问题应先由符号确定底数范围。参数进入分母时，注意除以负数会改变方向；开区间端点可能给出可取的参数边界。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需先用符号确定底数小于1，再分离成常数小于递减函数；关键完整性在于右端点不在定义区间，严格不等式仍允许参数取下确界。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！