2013 年陕西预赛 · 第 4 题

解答

设底面外接圆半径为一，侧棱与底面成四十五度，故高也为一。取 $P=(0,0,1),A=(1,0,0),B=(-1/2,\sqrt{3}/2,0),C=(-1/2,-\sqrt{3}/2,0)$。沿棱 $PA$ 的方向 $w=(1,0,-1)$，取两侧方向 $u=B-P,v=C-P$。有 $w^2=2,u^2=v^2=2,u\cdot v=1/2,u\cdot w=v\cdot w=1/2$。去沿棱分量后，点积为 $3/8$，两模平方均为 $15/8$，因此 $\boxed{\cos \theta =1/5}$。