2026 年贵州预赛

解答

椭圆焦点为 $F_1=(-2,0),F_2=(2,0)$。由于 $P,Q$ 不在 $x$ 轴上，故 $k\ne 0$， 直线 $l$ 的方程为

（1）假设椭圆上存在关于 $l$ 对称的两点，其连线的中点为 $H=(h_x,h_y)$。 则 $H\in l$，且该弦的方向向量可取为 $(k,-1)$。将弦参数方程

代入椭圆。两交点关于 $H$ 对称，故所得关于 $t$ 的二次方程一次项系数为零，即

又可将 $H\in l$ 写成 $H=(-2+s,ks)$。代入上式并利用 $k\ne 0$，得 $s=-3$， 所以

然而

即 $H$ 在椭圆外部，不可能是两个椭圆上点的中点。故椭圆上不存在关于直线 $l$ 对称的 两点。

（2）任取椭圆上一点 $X=(x_X,y_X)$，以

参数化直线 $MX$。代入椭圆所得二次方程有一根 $t=1$，另一根记为 $t_X$，对应另一个 交点。由于 $M$ 在椭圆内部，两根异号。由根的乘积并利用 $x_X^2/10+y_X^2/6=1$，可得

其中 $X^{\prime }$ 表示另一个交点。因此

题设等式等价于

把 $y=k(x+2)$ 代入椭圆，得到

它的两根正是 $x_P,x_Q$，故

解得 $k^2=1$，所以