易混 2022 年江西预赛 · P006867
两题都按十进制位值拆分，但“所有正整数”和“给定上界以内”要求不同的分层。无界题先证明高位数不可能；有界计数则要处理允许前导零的完整块与最高位截断块，不能只算完整位数。
数码积出现时，零数码会改变方程结构；只含数码和与整除判据的计数，还要登记末位和不完整前缀的限制。
培玉 · 一试
2022 年江西预赛
前2022个正整数中的白虎数
F2填空题数论
虎年 具有这样的性质：它是 的倍数并且其各位数字之和为 ，这种正整数被称为“白虎数”。那么，在前 个正整数中，“白虎数”的个数
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
各位数字和已经是 ，所以被 整除自动满足；只需末位为偶数。
思路
按不超过三位、千位为 、以及 至 三段计数。
解答
先把 至 写成允许前导零的三位数 。末位 可取 ，对应 分别为 ，方案数为
对 至 ，千位为 ，后三位数字和为 。末位取 时，另两位方案数为
在 至 中，符合条件的只有 与 ，共 个。因此
复核
数字和为 保证整除 ，末位为偶数保证整除 ，两条件合起来等价于整除 。分段覆盖了 至 ，且互不重叠。
方法总结
数位条件与整除条件并存时，先用整除判据消去自动满足的部分，再固定末位和最高位做星与条式计数，并单独检查不完整的最高区间。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
数码和为6已保证被3整除，只需末位偶数；按不足1000、千位1、最后截断段分别统计小范围非负整数和。
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