2018 年陕西预赛 · 第 10 题

解答

焦点为 $F=(p/2,0)$，准线为 $x=-p/2$，两者距离为 $p$。焦弦有两个交点时不是水平线，可写为 $x=cy+p/2$。代入抛物线得 $y^2-2pcy-p^2=0$，两根之积为 $-p^2<0$，故 $A,B$ 分居焦点两侧，$F$ 在线段 $AB$ 上。

由抛物线定义，$|A{A}^{\prime }|=|AF|,|B{B}^{\prime }|=|BF|$，所以

令 $h=|A^{\prime }{B}^{\prime }|$，则梯形 $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ 的面积为 $\frac{1}{2}(3p)h$；三角形 $F{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 以 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 为底，高为焦点到准线的距离 $p$，面积为 $\frac{1}{2}ph$。三角形在梯形内，故面积比为