同一骨架 2025 年广东预赛 · P006224
成对的对称关系都适合先取和与差，换成彼此解耦的新变量。这样原来互相依赖的两个函数或两条数列，分别变成可独立迭代的标量关系，再按目标需要组合回来。
函数加法公式的和差成为乘法型关系，并由奇偶性相连；数列递推的和差是带已知驱动项的线性递推，初值分别决定解。
培玉 · 一试
2024 年贵州预赛
F3填空题递推数列
已知数列 满足 ，
则通项公式 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
对称系数矩阵提示考查 和 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，则
归纳得 ，。所以
复核
时公式给出 ；代回两个一阶递推也均成立。
方法总结
两数列的对称线性递推，和与差通常是将其解耦的自然变量。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需选择两数列的和与差，将耦合系统拆成两个独立一阶递推后再还原a_n。
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同一骨架 2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 3 题 · P007268
一对相互耦合的量，在交换后常能通过和与差分开处理。先把两个条件写在同一对量上，再取和、取差；对称部分与反对称部分各自满足的关系可能比原问题简单。
前题交换的是正、负两个输入，奇偶补偿给出函数值的和与差；后题交换的是两个数列，和、差使对称系数的递推解耦，之后还要接回初值。
已记下，谢谢！