2013 年山西预赛 · 第 11 题

盒中装有红色和蓝色纸牌各 $100$ 张，每色纸牌都含标数为 $1,3,3^2,\dots ,3^{99}$ 的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为 $S$。对于给定的正整数 $n$，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为 $n$，便称为一种取牌 $n$ 方案，不同的 $n$ 方案种数记为 $f(n)$。试求 $f(1)+f(2)+\cdots +f(S)$ 的值。