培玉 · 一试
2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 7 题
F4填空题重要初等函数
设 ，关于 的方程 恰有三个不同的实数解 ，且 ，求 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
对称根集的非中心元素两两配对，故有限的奇数个根必包含中心。对正根式等式作平方前，要明确两边非负；平方后还要核对根所属区间及未平方等式。
想法从哪来：直接分成三个区间解根式方程，会出现多轮平方。先观察两个绝对值的中心，平移后函数左右对称：非中心的解总是成对出现，所以恰有奇数个解时，中心一定也是一个解。这先把右侧常数与参数联系起来。 但对称性只给必要条件，尚未保证恰有三个解。接着分中心区间与外侧研究：中心区间平方后可看出中心是唯一达到该高度的点；外侧则随离中心更远而严格增大，因而左右各恰有一个解。求右外根时先保留它在外侧的条件，平方后反查，才不会添根。最后把平移后的右根换回原横坐标，再使用最大根与题给常数相同的额外条件。
图像关于中点对称，奇数个根迫使对称中心本身成为根。
解答
令 。函数 为偶函数，恰有三个不同根时0必须是一根，故 。在 内有 ，等号仅t=0。在外侧两支严格向外递增，分别唯一达到b；由 平方可得正外根 ，负外根对称。原x的最大根为 。题设它等于b，故 ，由a正得a=128、b=16，所以 。
复核
只凭中心根给b还不够，需证明外侧各恰一根、内侧没有额外根。平方后取t正且大于a/2，计算合法；a=0被原条件排除。
方法总结
偶对称根集的奇数根数先固定中心，再分段检查其余根。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
图像关于中点对称，奇数个根迫使对称中心本身成为根。
已记下，谢谢！