一试训练题

解答

由条件，$f(x)=f(2-x)$，$f(x)=-f(8-x)$。于是 $f(x)=f(2-x)=-f(8-(2-x))=-f(x+6)$，即 $f(x+6)=-f(x)$，从而 $f(x+12)=-f(x+6)=f(x)$，$12$ 是周期。零点：$f(0)=0$；$f(2)=f(2-0)=f(0)=0$；在 $f(4-x)=-f(4+x)$ 中令 $x=0$ 得 $f(4)=-f(4)$，即 $f(4)=0$。由 $f(x+6)=-f(x)$，零点集对 $\pm 6$ 平移封闭，所以 $6k,2+6k,4+6k$（$k\in \mathbb{Z}$）都是零点，三类按模 $6$ 余数 $0,2,4$ 互不相同。在 $[-30,30]$ 中：$6k$ 取 $k=-5,\dots ,5$ 共 $11$ 个；$2+6k$ 取 $k=-5,\dots ,4$ 共 $10$ 个；$4+6k$ 取 $k=-5,\dots ,4$ 共 $10$ 个。合计至少 $\boxed{31}$ 个根。