2013 年山西预赛 · 第 4 题

解答

分母 $3-\cos x\ge 2>0$。若函数值为 $Y$，则 $\sin x-Y\cos x=4-3Y$，因此 $|4-3Y|\le \sqrt{1+Y^2}$。平方整理得 $8Y^2-24Y+15\le 0$，故

这个数满足 $3M-4=\sqrt{1+M^2}>0$。取合法单位向量

即有 $\sin x-M\cos x=-\sqrt{1+M^2}=4-3M$，从而原比值恰为 $M$。故最大值为 $\boxed{\frac{6+\sqrt{6}}{4}}$。