培玉 · 一试
2021 年北京预赛
F3填空题平面几何综合
在正三角形 中， 为 边上的高。点 分别从 出发， 沿 以相同的速度匀速运动。当 取最小值时， 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
等速意味着两点走过的路程可用同一参数表示。
思路
坐标化后，目标是两个严格凸的距离函数之和。
解答
不妨令边长为 ，取
设两点均走过距离 ，则
于是
每一项都是点沿不经过 的直线运动时到 的距离，故均为严格凸函数， 至多有一个驻点。直接求导并代入
可得
且 ，故此时取得最小值。
将 代入
化简得到
因此
复核
，两点都位于题设线段上；严格凸性排除了另一个局部极值。
方法总结
两个等速动点问题可共用路程参数；距离和最值用凸性保证唯一性，再以导数定位，最后用向量点积求角。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
用同一行程参数表达两点，再确定两个根式距离和的唯一最小点并核查行程未越出较短线段。
已记下，谢谢！