2026 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 10 题

解答

设 $A=(t^2,t)$，$t>2$，则 $B=(t^2,-t)$。写 $P=(t^2,z)$，$|z|\le t$，水平的 $PQ$ 使 $Q=(z^2,z)$。由 $PQ=AB=2t$ 得 $t^2-z^2=2t$，所以 $z=\pm \sqrt{t^2-2t}$。最大斜率取正号，有 $k^2=(t-2)/t^3$，导数为 $(6-2t)/t^4$，故在 $t=3$ 取得全局最大。于是 $\boxed{k_{\max }=\sqrt{3}/9}$。此时三角形以 $AB$ 为底、高为 $PQ$，面积为 $2t^2$，所以 $\boxed{S_{ABQ}=18}$。