2020 年中科大少年班初试 · 第 1 题

解答

设 $z=1/2+it$，记 $A=|z+1|=\sqrt{t^2+9/4},B=|z-i|=\sqrt{(t-1{)}^2+1/4}$。三角不等式给 $A-B\le |1+i|=\sqrt{2}$，且 $t=3/2$ 时取等。另一方面，$(A+1{)}^2-B^2=2(A+t+1)>0$，因为 $A>|t|$。故 $A-B>-1$。当 $t\to -\infty$ 时，利用 $A-B=(2t+1)/(A+B)$ 得极限为负一。函数连续，故它从该极限到已达到的最大值之间无缺口，范围为 $\boxed{(-1,\sqrt{2}]}$。