一试训练题

解答

记这些集合为 $A_0,A_1,\dots ,A_{1986}$。由容斥，任意两个不同集合的交集大小都是 $45+45-89=1$。 固定 $A_0$，其与其余 $1986$ 个集合各有一个交点。因 $1986>45\cdot 44$，$A_0$ 的某个元素 $x$ 至少属于另外 $45$ 个集合。 取其中 $45$ 个，与 $A_0$ 合成 $46$ 个均含 $x$ 的集合。这 $46$ 个集合的任意两个交集恰为 $\{x\}$。 若原集族中有集合 $D$ 不含 $x$，它必须与上述每个集合相交，而且这 $46$ 个交点两两不同：若某点重复，就会同时属于两个集合而不等于 $x$，违背唯一交点条件。 于是 $|D|\ge 46$，与 $|D|=45$ 矛盾。因此所有集合都含 $x$，除 $x$ 外两两不交。 所求并集元素数为