2017 年湖北预赛 · 第 12 题

解答

设 $A=(t^2/2,t),B=(s^2/2,s)$。因为直线经过焦点 $F=(1/2,0)$，有 $ts=-1$。两条切线为 $ty=x+t^2/2$ 与 $sy=x+s^2/2$，所以

$AB$ 的方向向量可取 $((t+s)/2,1)$，而 $FE=(-1,(t+s)/2)$，数量积为零，故 $\boxed{EF\perp AB}$，其中 $t+s=0$ 的竖直焦点弦也已包括。

又焦点在弦的两端之间，$AF=(1+t^2)/2,FB=(1+s^2)/2$，故给定向量比例为

由行列式计算面积，利用 $ts=-1$，得到

函数 $\sqrt{u}+1/\sqrt{u}$ 在 $0<u<1$ 上严格递减，故当 $\lambda \in [1/3,1/2]$ 时，最小值在 $\lambda =1/2$ 处取得：