2011 年河北预赛 · 第 12 题

解答

令 $p=x+y\ge 1,q=xy$。由两变量至少二分之一，有 $(2p-1)/4\le q\le p^2/4$，且 $f=p^3-3p^2+3p+(3-2p)q$。若 $1\le p\le 3/2$，系数非负，取积的下界得 $f\ge F(p)=p^3-4p^2+5p-3/4$。$F^{\prime }(p)=(3p-5)(p-1)\le 0$，故这一段 $f\ge 9/8$。若 $p\ge 3/2$，系数非正，取积的上界得 $f\ge p^3/2-9p^2/4+3p=1+(p-2{)}^2(2p-1)/4\ge 1$。在 $x=y=1$ 时原式等于一，所以最小值为 $\boxed{1}$。