2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题

解答

由于 $x\mapsto 2^x$ 为严格递增的双射，$g$ 在 $[0,5)$ 上的零点数等于 $f$ 在 $[1,32)$ 上的零点数，为25。 记 $f$ 在 $[1,6)$ 中的零点数为 $N$，在 $[1,2)$ 中的零点数为 $r$。 周期性保证每个 $[1+5j,6+5j)$ 内恰有 $N$ 个零点，且 $[31,32)$ 内恰有 $r$ 个零点。因此

从 $6N\le 25\le 7N$，并由 $N$ 为整数，得 $N=4,r=1$。

所求 $g$ 在 $[1,4)$ 上的零点数等于 $f$ 在 $[2,16)$ 上的零点数。 $[1,16)$ 由三个完整周期块组成，且 $[2,16)=[1,16)\setminus [1,2)$，故所求为