2021 年吉林预赛

解答

先证必要性。若 $t<0$，当 $|t|<2$ 时，$0\in (t^2-4,t^2)$， 取 $x=0$ 得 $f(t)<0$，这不可能，因为此时 $f(t)=t^2>0$。 当 $t\le -2$ 时，区间内存在正数 $x$。若 $x+t<0$，则 $f(x+t)\ge 0>4f(x)$；若 $x+t\ge 0$，则 $0\le x+t<x$，从而

所以 $t<0$ 均不合题意。

若 $t>0$，区间 $(t^2-4,t^2)$ 中总有正数。对该区间中的任意正数 $x$， 有 $x+t>0$，题设等价于

即 $x+t>2x$，也就是 $x<t$。区间中正数部分的上确界为 $t^2$， 所以必须有 $t^2\le t$，故 $0<t\le 1$。结合 $t=0$ 尚待检验， 必要范围为 $[0,1]$。

再证充分性。设 $0\le t\le 1$，且 $x\in (t^2-4,t^2)$。 若 $x\ge 0$，则 $t>0$ 且 $0\le x<t^2\le t$，故 $x+t>2x$，从而 $f(x+t)<4f(x)$。 若 $x<0$ 且 $x+t\ge 0$，则 $f(x+t)\le 0<4x^2=4f(x)$。 若 $x<0$ 且 $x+t<0$，由 $x<t$ 得

所以 $(x+t{)}^2<4x^2$，所需不等式仍成立。 特别地，$t=0$ 时区间为 $(-4,0)$，不等式就是 $x^2<4x^2$。

因此 $t$ 的取值范围为 $\boxed{[0,1]}$，应选 $\boxed{\text{D}}$。