2014 年辽宁预赛 · 第 14 题

解答

取外接圆为单位圆，$O=(0,0),A=(0,1),B=(u,v),C=(w,z)$。因 $AP=AQ$，直线 $PQ$ 垂直 $AO$，记其为 $y=t$。$B,C$ 均异于 $A$，故 $1-v,1-z>0$。由 $C\prime \in AB\cap CO$、$B\prime \in AC\cap BO$ 得 $uz(1-t)=tw(1-v)$、$wv(1-t)=tu(1-z)$。把前式乘 $u(1-z)$，后式乘 $w(1-v)$，相减，并用 $1-t\ne 0$，得 $u^{2}z(1-z)=w^{2}v(1-v)$。又 $u^2=1-v^2,w^2=1-z^2$，故 $(1-v)(1-z)(z-v)=0$，从而 $z=v$。于是 $A{B}^2=2(1-v)=2(1-z)=A{C}^2$，即 $\boxed{AB=AC}$。