2018 年河北预赛（高三卷） · 第 9 题

解答

伸长和平移给 $f(x)=2\cos (x-\pi /2)=2\sin x$。取 $\delta \in (0,\pi /2)$ 满足 $\cos \delta =1/\sqrt{5},\sin \delta =2/\sqrt{5}$，则 $f(x)+g(x)=\sqrt{5}\cos (x-\delta )$。在 $[0,2\pi )$ 的完整半开周期中，恰有两个不同根当且仅当 $\boxed{-\sqrt{5}<m<\sqrt{5}}$。设 $\cos u=m/\sqrt{5}$，两个根的相位模 $2\pi$ 为 u 与 $-u$，所以 $\cos (\alpha -\beta )=\cos 2u=\boxed{2m^2/5-1}$。