一试训练题

解答

（1）已知 $a_2=k{a}_1$ 且 $a_1\ne 0$。把 $n=1$ 代入部分和比例，

所以 $2a_1+1=k$。继续递推得到 $2S_n+1=k^n$，从而 $S_n=(k^n-1)/2$。对 $n\ge 2$ 作相邻差，并结合已求的首项，

因 $a_1\ne 0$，$k=1$ 不合法；其余 $k>0$ 时各项非零且公比为k，故为等比数列。

（2）由 $a_1+a_2=(k^2-1)/2=4$ 及 $k>0$，得 $k=3,a_1=1$，所以 $a_n=3^{n-1}>0$，对数与倒数均有定义。于是

必要性：取 $n=2,4$ 分别得 $b_3\le 0,b_4\ge 0$，即 $2-c/9\le 0,3-c/27\ge 0$。

充分性：若这两式成立，由 $b_n$ 严格递增，$b_1,b_2\le b_3\le 0$，而所有 $j\ge 4$ 有 $b_j\ge b_4\ge 0$。当 $n=1,2$，$T_n-T_3$ 是相应若干非正增量之和的相反数，非负；当 $n\ge 4$，它是从第4项开始的非负增量和，也非负。因此两个相邻符号条件确与全部正整数要求等价，解得