2014 年辽宁预赛 · 第 10 题

解答

按题图 $H$ 在 $BC$ 上，且 $AH\perp BC$。取 $H=(0,0),A=(0,h)$，$h>0$。因 $\cos C=2/\sqrt{5}>0$，可令 $C=(2h,0)$，此时 $CA=\sqrt{5}h,CH=2h$。以 $A,H$ 为焦点的双曲线半焦距为 $h/2$，而过 $C$ 给实轴全长 $2a=CA-CH=(\sqrt{5}-2)h$，故 $\boxed{e=\sqrt{5}+2}$。