培玉 · 一试

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2022 年新疆预赛

F3填空题数论

设 $m, n \in N$ ，且 $m, n \geq 2$ 。若

\frac{2 ^{3} - 1}{2 ^{3} + 1} \cdot \frac{3 ^{3} - 1}{3 ^{3} + 1} \dots \frac{n ^{3} - 1}{n ^{3} + 1} = \frac{m ^{3} - 1}{m ^{3} + 2},

则 $m^{2} + n^{2}$ 的值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

识别相邻二次因子在连乘中相消，化简后利用(n-1)(n+2)整除18排尽整数参数。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：裂项相消、有限枚举与去重

专题卡：添项配积与因数配对、排序限界与有限分类