2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 5 题

解答

正弦定理：$\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{AB}=2$，即 $\sin \left(\gamma +\frac{2\pi }{3}\right)=2\sin \gamma$，展开得 $-\frac{1}{2}\sin \gamma +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \gamma =2\sin \gamma$，所以 $\tan \gamma =\frac{\sqrt{3}}{5}$。于是 $\cos 2\gamma =\frac{1-{\tan }^2\gamma }{1+{\tan }^2\gamma }=\frac{11}{14}$，$\sin 2\gamma =\frac{2\tan \gamma }{1+{\tan }^2\gamma }=\frac{5\sqrt{3}}{14}$。面积 $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\sin A=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2\gamma \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\gamma -\frac{1}{2}\sin 2\gamma =\frac{11\sqrt{3}}{28}-\frac{5\sqrt{3}}{28}=\boxed{\frac{3\sqrt{3}}{14}}$。