同一骨架 2024 年浙江预赛 · P006621
两题都先在较容易估计的必要范围内建立界，再反构造原条件同时取等的点。截面题先用直角条件得到面积与某一高度的关系，再用侧棱高度上界；单位向量题先用模长得到较大可行域上的界，再解附加的垂直条件确认取等方向。
前题要逐一排查直角所在顶点，并恢复另一条侧棱上的高度；后题要找回处在开区间内的附加参数。仅有代数界都不足以宣布最值可达。
培玉 · 一试
2024 年内蒙古预赛
F3填空题截面与折叠
已知正三棱柱 的侧棱长为 ，底面边长为 。过点 的一个平面截此棱柱，与侧棱 分别交于点 。若 为直角三角形，则 面积的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把 在两条侧棱上的高度设为参数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
直角不可能在 ，所以只需讨论在 或 处成直角，二者对称。
解答
取
并设 ，其中 。由于
直角不在 。不妨直角在 ，则
即 。条件 给出
此时
函数 在闭区间 上的最大值在端点取得，且端点处 。故
复核
端点对应 或 ，均为棱柱侧棱上的合法点；交换 不改变最大值。
方法总结
棱柱截面问题可用侧棱高度参数化；直角条件变成一个乘积关系，面积平方再化为一元对称式。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须判定直角可能位置并化成n=m+2/m，再用侧棱界限确定优化区间及端点。
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