2026 年中科大少年班入围考 · 第 14 题

解答

原式要求 $x\le 1$；又因根式非负，必须 $x^2\le 1$，故先限制为 $-1\le x\le 1$。在此区间内 $1-x^2\ge 0$，所以

二次因子的两根为 $(-1\pm \sqrt{5})/2$，其中负根小于 $-1$，正根 $r=(\sqrt{5}-1)/2\in (0,1)$。在 $[-1,0)$、$(0,r)$、$(r,1)$ 上，乘积符号分别为负、正、负；0、$r$、1均为零点。因此解集为 $\boxed{[0,\frac{\sqrt{5}-1}{2}]\cup \{1\}}$。