2012 年河南预赛 · 第 4 题

解答

令 $t=\sqrt{\tan (\alpha /2)}$，因 $\alpha$ 为锐角，$0<t<1$。原式化为 $1/t-t=\sqrt{2\sqrt{3}\tan 10^{\circ }}$。两侧正，平方得到 $\tan (\alpha /2)+\cot (\alpha /2)-2=2\sqrt{3}\tan 10^{\circ }$，即 $2/\sin \alpha -2=2\sqrt{3}\tan 10^{\circ }$。于是 $\sin \alpha =\frac{\cos 10^{\circ }}{\cos 10^{\circ }+\sqrt{3}\sin 10^{\circ }}=\frac{\cos 10^{\circ }}{2\cos 50^{\circ }}=\sin 50^{\circ }$。锐角区间上正弦严格递增，所以 $\boxed{\alpha =50^{\circ }}$。