2016 年黑龙江预赛 · 第 13 题

解答

$f(A)=2{\cos }^{2}A+\sqrt{3}\sin 2A=2$，移项分解得 $2\sin A(\sqrt{3}\cos A-\sin A)=0$。内角满足 $\sin A>0$，所以 $\sin A=\sqrt{3}\cos A$，进而 $A=\pi /3$。面积为 $bc\sin A/2=\sqrt{3}bc/4=\sqrt{3}/2$，得 $bc=2$。由 $b=1$ 得 $c=2$，余弦定理给 $a=\sqrt{3}$。因此 $\frac{b+c}{\sin B+\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\boxed{2}$。