2025 年四川预赛

思路

有限域里的 $1/n$ 指模 $p$ 逆元；有限对数只是本题定义的多项式，并未使用实对数。二次扩域可理解为补入特征方程的根，使幂运算及递推公式仍有意义。导数为0推出常数在这里依赖多项式次数小于 $p$，并非特征 $p$ 下一般都成立。

想法从哪来：直接把递推代入带 $1/n$ 的和，分母随下标变化，难以抵消。 先把分母看成模素数下的逆元，试将所有权重装进多项式 $L(X)=\sum X^n/n$。它的导数去掉了分母，变成有限等比和，因而容易比较 $X$ 与 $1-X$，得到对称性。 再看斐波那契递推的两个特征根，恰好相加为1。把幂差形式代入，目标和就成为两个相等的 $L$ 值之差。这是先找权重的对称，再匹配递推根的关系；判别式为零的素数必须另算。

直接对斐波那契递推求带权和不易望远镜消去。改在模 $p$ 的域中引入有限对数多项式 $L(X)=\sum X^n/n$；它满足对称性 $L(X)=L(1-X)$，而斐波那契特征方程的两根之和恰为 $1$，两者可以直接配合。