2024 年内蒙古预赛

解答

把 $y=kx+1$ 代入双曲线得

两根异号当且仅当 $3-4k^2>0$，故 $|k|<\sqrt{3}/2$。弦 $AB$ 的极点就是两端切线交点。由极线方程

与 $y-kx=1$ 比较，得 $P=(-4k,-3)$。

上述二次方程的根差为

而 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $4(1-k^2)/\sqrt{1+k^2}$。于是

令 $t=k^2\in [0,3/4)$。对数求导可见其符号与 $4t-1$ 相同，故在 $t=1/4$ 处取得唯一最小值