2025 年广州预赛

解答

把正方体置于坐标系中，使八个顶点的坐标均属于 $\{0,1{\}}^3$。若某一水平面取 $k$ 个点、另一水平面取 $4-k$ 个点，则有以下分类。

当分布为 $1+3$ 或 $3+1$ 时，共有

种。三点在一个单位正方形面上构成面积为 $\frac{1}{2}$ 的三角形，第四点到该面的距离为 $1$，故体积均为 $\frac{1}{6}$。

当分布为 $2+2$ 时，共有 ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}^2=36$ 种。每个正方形面上的两点有 $4$ 条边型点对和 $2$ 条对角线型点对：

此外，四点全在同一水平面有 $2$ 种，体积为 $0$。所以体积为 $\frac{1}{6}$ 的选法有 $32+8+16=56$ 种，体积为 $\frac{1}{3}$ 的选法有 $2$ 种。于是