易混 2025 年重庆预赛 · P006346
两题都随机得到三角形，但等可能的对象不同。固定顶点中的选择要数有限的点组；连续截点要把位置放进坐标区域，用面积衡量机会，不能把几种形状类别当成等可能结果。
都有几何图形和概率，分母所衡量的对象却不同。
培玉 · 一试
2026 年吉林预赛
F2填空题概率
在线段 上随机取两个点，把线段截为三段，则这三段可以构成一个三角形的概率为
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把线段长度归一化为 ，并把两个截点的位置排序为 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
三段长度分别为 ；三段和固定为 ，所以能构成三角形恰好等价于每一段都小于 。这可直接转化为样本三角形中的面积比。
解答
有序截点 均匀分布在
其面积为 。三段能构成三角形的充要条件为
在 中，不满足这三个不等式的区域分别是三个全等的小直角三角形， 每个面积为 ，且除边界外互不相交。因此有利区域面积为
所求概率为
故选择 。
复核
截点重合、截点落在端点或某一段恰为 都只落在有限条边界线上，概率为零， 不影响面积比。三段总长为 ，故“最大段小于 ”确与三角形两边之和大于第三边等价。
方法总结
连续型断棒问题先将截点排序，把样本空间画成坐标平面中的三角形；再利用总长固定， 把三角形不等式化为每段小于半周长，最后计算线性不等式截出的面积比。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
有序截点形成三角区域，三边都小于总长一半是常规断棍条件，扣除三个角部三角形后取面积比。
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同一骨架 2021 年吉林预赛 · P007012
两题都从三角形条件失败的边界入手：最长一段达到或超过其余两段之和。把失败集合描述清楚后，一题对它建立代数下界来保证构形成立，另一题量出它在随机截点空间中占据的区域。
保证每一组数据都可行的阈值，与随机得到可行数据的概率，使用同一个几何失败边界。
已记下，谢谢！