同一骨架 2024 年甘肃预赛 · P006457
先把整数映到足以判断目标条件的少数类别，再列出允许的类别配比。两题分别把乘积的素因子条件、和的整除条件转成类别标记的加法约束，最后按每类的实际容量计数。
被压缩的是素因子的个数或余数，类别本身并不是等可能样本点。
培玉 · 一试
2022 年福建预赛
三数乘积整除四的概率
F2填空题概率
从 这 个正整数中任意抽取 个不同的正整数 ，则它们的积 能被 整除的概率为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
按因子 的个数统计补集更简洁：乘积不能被 整除时，要么全为奇数，要么恰有一个数只含一个因子 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
共有 种等可能取法。六个奇数为 ，恰含一个因子 的数为 。
乘积不能被 整除的取法有
故所求概率为
复核
补集中没有选取 或 ，因为只要选到其中任一个数，乘积就已经含至少两个因子 。
方法总结
整除概率适合按素因子赋值分类；用补集可把“赋值之和不足”化为少数互斥情形。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
反面只可能三数全奇或一个恰含单个2因子的数配两奇数，两类互斥且计数直接，属于常见整除概率。
联系 · 2 条
易混 2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） 第 7 题 · P007232
都在抽取整数后判断素因子条件，但两两互素限制每一对数能否共享质因子，乘积整除性只看总共积累了多少因子。前者要逐对保留排斥关系，后者适合把素因子个数相加。
不能把对所有数整体成立的条件，误当成每一对都满足的条件。
已记下，谢谢！