垫脚石（此题 → 相关题） 2011 年湖南预赛 第 14 题 · P010854
先练一条从顶点发出的射线：它与对边的分比和所分角互相决定，中点只是一个特别的分比。再处理两条射线时，可把各自的边分比同时写成三角函数比，用单调性判定它们是否关于角平分线对称。
从一条指定中线的角函数恒等式，进到两条可变射线的充要条件；后一题还必须补上除以边段前的端点检查。
培玉 · 一试
2017 年天津预赛 · 第 13 题
F3解答题平面几何综合
设 的三个内角分别为 。若 的中点为 ，证明：
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
将AB置于横轴，余切就是横向分量与正高度之比。
思路
中点使AM的横向坐标恰为两端横坐标的平均。
解答
取 ，其中c>0、v>0。则
M为BC中点，故 ，于是
所以
复核
u可为负或大于c，公式仍对应相应钝角的负余切；只用v>0，未假设三角形锐角。AM的纵坐标为v/2>0，所用角不为0或π。
方法总结
涉及中线分角的余切恒等式时，底边坐标法可让所有余切共用一个高度分母，不必另解中线长度。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
沿一条边建立坐标后，几个余切共用同一正高度分母，中点只需取坐标平均；不必假设三角形为锐角。
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