2012 年辽宁预赛 · 第 5 题

解答

原等式等价于 $\cos A+2\cos B+\cos C=2$。记 $s=\sin (B/2)>0,D=(A-C)/2$，则 $\cos A+\cos C=2s\cos D$、$2\cos B=2-4s^2$。于是原式等价于 $\cos D=2s$。由正弦定理，$\frac{a+c}{b}=\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{\cos D}{s}$，因此等价于 $\boxed{a+c=2b}$，选 D。