2016 年辽宁预赛 · 第 4 题

解答

分成 $A=\{2,4,8\}$，$B=\{3,9,15\}$，$C=\{6,12\}$。组内邻接合法，$C$ 中每数与其他所有数邻接合法，唯一禁止的是 $A,B$ 直接相邻。 先固定两个 $C$ 数的顺序，它们前、中、后三个空隙只能各填全 $A$、全 $B$ 或空。设被 $A,B$ 占用的空隙数为 $r,s$，因两组各有三个元素，可能只有 $(r,s)=(1,1),(1,2),(2,1)$。第一类选两种不同类型空隙有 $3\cdot 2=6$ 种；第二类有三种 $A$ 空隙选择及将三个 $B$ 分到两非空隙的两种方案，共六种；第三类同理六种。共十八种类别模式。组内三元素各有 $3!$ 种排列，两个 $C$ 有 $2!$ 种顺序，故