2012 年河北预赛（高二卷） · 第 7 题

解答

设三条互垂侧棱为 $x=AB,y=AC,z=AD$。面积条件给 $xy=\sqrt{2},yz=\sqrt{3},zx=\sqrt{6}$，所以 $x^2=2,y^2=1,z^2=3$。取直角顶点为原点、三棱为坐标轴，外球中心为 $(x/2,y/2,z/2)$，半径平方为 $(2+1+3)/4=3/2$。因此 $\boxed{V_{\text{球}}=4\pi (\sqrt{6}/2{)}^3/3=\pi \sqrt{6}}$。